如何证明过抛物线x2=2y的准线y=1/2上一动点所作的两条切线切点A,B的连线过定点（0,1/2）

更新时间：2019-07-30 00:54:18 101次访问

计算了半天,果然定点就是焦点(0,1/2),和我判断一样
y=x2的准线为y=-1/2,设切点坐标为M(x0,x0^2),N(x1,x1^2)
设P(m,-1/2)为准线上任一点,则有直线PM的斜率等于M的切线斜率2x0,
所以PM方程为y+1/2=2x0(x-m),PM过点M,所以x0^2+1/2=2x0^2-2x0m
即x0^2=2mx0+1/2①
同理有x1^2=2mx1+1/2②,
①-②得x0+x1=2m
由两点式MN:(y-x0^2)/(x-x0)=(x0^2-x1^2)/(x0-x1)=x0+x1=2m
整理得MN方程为y=x0^2+2m(x-x0)=2mx0+1/2+2mx-2mx0=2mx+1/2
所以MN过定点(0,1/2)