设数列｛an｝的前n项和为Sn，a1=1，且Sn=2-2an+1（n∈N+）（Ⅰ）证明数列｛an｝为
设数列｛an｝的前n项和为Sn，a1=1，且Sn=2-2an+1（n∈N+）（Ⅰ）证明数列｛an｝为等比数列，并求数列｛an｝的通项公式（Ⅱ）求Tn=a1+2a2+L+nan(n∈N+）（Ⅲ）是否存在实数λ，使得数列｛Sn+λ·n+λ/2^n｝为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由
（Ⅰ）a1=1
Sn=2-2a₍n+1₎ ①
S₍n+1₎=2-2a₍n₎ ②
①-②a₍n₎=2a₍n₎-2a₍n+1₎→a₍n₎=2a₍n+1₎→a₍n+1₎/a₍n₎=½
∴a₍n₎是首项为1，公比是½的等比数列→a₍n₎=½ⁿ⁻¹
（Ⅱ）Tn=a₁+2a₂+L+na₍n₎=1+1+L+n·½ⁿ⁻¹=2+L+n·½ⁿ⁻¹
（Ⅲ）Bn=Sn+λ·n+λ/2ⁿ=2-2/2ⁿ+λ·n+λ/2ⁿ=2+λ·n+(λ-2)/2ⁿ
λ=2时，Bn=2+2n为等差数列
∵S(n)=2-2a(n+1)，∴S(n-1)=2-2a(n)。
∴a(n)=S(n)-S(n-1)=2a(n)-2a(n+1)。
∴2a(n+1)=a(n)，a(n+1)/a(n)=1/2。
∴{a(n)}是等差数列，q=1/2。
∵a(1)=1，∴a(n)=2/2ⁿ★
∴S(n)=(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)=2-2/2ⁿ。
∴S(n)+λn+λ/2ⁿ=2+λn+(λ-2)/2ⁿ。
当λ-2=0即λ=2时，S(n)=2+2n。
∴当λ=2时，{S(n)+λn+λ/2ⁿ}是等差数列★
【若】T(n)=1+2/2+3/2²+4/2³+……+n/2^(n-1)，
则(1/2)T(n)
=1/2+2/2²+3/2³+……+(n-1)/2^(n-1)+n/2ⁿ。
∴(1/2)T(n)=T(n)-(1/2)T(n)
=1+1/2+1/2²+1/2³+……+1/2……+1/2^(n-1)-n/2ⁿ
=2-1/2^(n-1)-n/2ⁿ
=2-(n+2)/2ⁿ
∴T(n)=4-2(n+2)/2ⁿ★
存在的，整个式子列项求和，望采纳
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