该式最小值为
解：x²+y²+2ax+a²-4=0 --> (x+a)²+y²=2²，圆心坐标O1(-a, 0)、半径R1=2
x²+(y-2b)²=1，圆心坐标O2(0, 2b)、半径R2=1
两圆恰有三条公切线 -->两圆外相切，则两圆心之间的距离为3（=R1+R2）
即 |O1O2|²=a²+(2b)²=a²+4b²=3²=9
故 (9+4b²)/a²+9/(4b²)=(9+a²+4b²-a²)/a²+9/(a²+4b²-a²)
=(9+9-a²)/a²+9/(9-a²)=(18-a²)/a²+9/(9-a²)
=[(18-a²)(9-a²)+9a²]/[a²(9-a²)] （a≠0、±3）
令 x=a²>0，f(x)=[(18-x)(9-x)+9x]/[x(9-x)]=(x²-18x+162)/(9x-x²)
则 f'(x)=(2x-18)/(9x-x²)+(2x-9)(x²-18x+162)/(9x-x²)²
=[(2x-18)(9x-x²)+(2x-9)(x²-18x+162)]/(9x-x²)²
=-9(x²-36x+162)/(9x-x²)²
f"(x)=-9(2x-36)/(9x-x²)²-9(x²-36x+162)(2x-9)/(9x-x²)³
=-9[(2x-36)(9x-x²)+(2x-9)(x²-36x+162)]/(9x-x²)³
=243(x²-12x+54)/(9x-x²)³=243[(x-6)²+18]/[x³(9-x)³]
令 f'(x)=0 --> x²-36x+162=0 --> x=[36±√(36²-4*162)]/2=18±9√2>0
则 f"(x=18+9√2)<0，f"(x=18-9√2)>0
故 x=18-9√2是f(x)的最小值点，由此得
a²=18-9√2，4b²=(9-a²)=9-(18-9√2)=9√2-9
故 (9+4b²)/a²+9/(4b²)=(9+9√2-9)/(18-9√2)+9/(9√2-9)
=√2/(2-√2)+1/(√2-1)
=√2(2+√2)/2+√2+1
=2√2+2=2(1+√2)
故正确答案是A。
这个应选A的了
(x+a)²+y²=4，圆心（-a,0)，半径2
x²+(y-2b)²=1，圆心（0,2b)，半径1
因为两圆有三条公切线，故：两圆外切（两条外公切线、1条内公切线）
所以，a²+4b²=(2+1)²=9
所以，（9+4b²）/a²+9/(4b²)
=（a²+4b²+4b²）/a²+(a²+4b²)/(4b²)
=1+8b²/a²+1+a²/(4b²)
≥2+2√2
选A
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