三角形ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D，BD=2,AD=3,CD=4，求AC边的长

更新时间：2022-03-06 10:11:23 113次访问

三角形ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D，BD=2,AD=3,CD=4，求AC边的长

因AD是角平分线，

所以 AB:AC=BD:CD

又知 BD=2，CD=4 

所以，AB:AC=2：4=1：2

设 AB=x，则 AC=2x

设角BAD=α, 则角CAD=α

应用余弦定理，cos α= (a^2+b^2-c^2)/ 2ab

可得 

在三角形 BAD中， cos α= (AB^2+AD^2-BD^2)/ 2*AB*AD，即 cos α= (x^2+3^2-2^2)/ 2*x*3----------------（1）

同理，在三角形 CAD中， cos α= (AC^2+AD^2-CD^2)/ 2*AC*AD，即 cos α= (（2x）^2+3^2-4^2)/ 2*（2x）*3-----------（2）

联立（1）、（2）

得方程

(x^2+3^2-2^2)/ 2*x*3=(（2x）^2+3^2-4^2)/ 2*（2x）*3

解方程得 x=√34/2 , 则 2x=√34 , 即 AC=√34

根据已知条件和正弦定理，可以得出如下关系式：

2/sin∠BAD=3/sinB

4/sin∠CAD=3/sinC

∠BAD=∠CAD

∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°

四个未知数、四个关系式，可以求方程