140x+228y+284z=52180
求整数解
除以4，35x + 57y + 71z = 13045
若 z = 0，则 y = 5n，7x + 57n = 2609，n 是整数；
7x = 2609 - 57n，x = 372 - 8n + ( 5 - n )/7
x 是整数，所以 ( 5 - n )/7 是整数，故应令 n = 7m - 2，m 是整数；
代入，x = 372 - 8( 7m - 2 ) + [ 5 - ( 7m - 2 ) ]/7 = 372 + 16 - 56m + 1 - m = 389 - 57m；
y = 5n = 5( 7m - 2 ) = 35m - 10；
即 z = 0 时，x、y 的通解为 x = 389 - 57m，y = 35m - 10；
71z 可以为 71( 35p + 57q )，p、q 是整数；
对应的，35x 应减去 71 * 35p，y 应减去 71 * 57q
即 35x = 35( 389 - 57m - 71p )，57y = 57( 35m - 10 - 71q )
即方程的整数通解为 x = 389 - 57m - 71p，y = 35m - 10 - 71q，z = 35p + 57q；
m、p、q 是整数。
譬如，m = 1，p = 1，q = 1，
则 x = 389 - 57 - 71 = 261，y = 35 - 10 - 71 = -46，z = 35 + 57 = 92；
35x + 57y + 71z = 9135 - 2622 + 6532 = 13045 。
如规定 x、y、z 是非负整数，
则 35x = 35( 389 - 57m ) ≤ 13045，1995m ≥ 570，m ≥ 1；
57y = 57( 35m - 10 ) ≤ 13045，1995m ≤ 13615，m ≤ 6；
即 m 取值范围是 1 ≤ m ≤ 6；
将 m 值带入 x、y ，即可求得 p、q 的取值；
例如，m = 1，则 x = 389 - 57 * 1 - 71p ≥ 0，71p ≤ 332，p ≤ 4；
y = 35 * 1 - 10 - 71q ≥ 0，71q ≤ 25，q ≤ 0；
z = 35p + 57q ≥ 0，p ≥ -2q；
取 m = 1，q = -1，p = 2，则 x = 190，y = 96，z = 13 。
140x+228y+284z=52180
35x+57y+71z=13045
7(5x+2z)+57(y+z)=7*1831+57*4
7(5x+2z-1831)+57(y+z-4)=0
设y+z-4=7m①
则5x+2z-1831=-57m
5x=1831-57m-2z=1835-55m-(4+2m+2z)②
设4+2m+2z=10n，z=-2-m+5n③
③代入①，y-2-m+5n-4=7m，y=6+8m-5n
③代入②，5x=1835-55m-10n，x=367-11m-2n
(x，y，z)=(367-11m-2n，6+8m-5n，-2-m+5n)
当m与n是整数时，x、y、z都是整数。