这道多元函数题是怎么做的?
∫( -1,1 ) [p(x)]^2 dx
= ∫( -1,1 ) [ x^4 + 2ax^3 + 2bx^2 + a^2x^2 + 2abx + b^2 ] dx
= [ x^5/5 + ax^4/2 + ( 2b + a^2 )x^3/3 + abx^2 + xb^2 ]( -1,1 )
= 2/5 + 4b/3 + 2a^2/3 + 2b^2
= 2[ b^2 + 2b/3 + (1/3)^2 ] + 2/5 - 2/9 + 2a^2/3
= 2( b + 1/3 )^2 + 2a^2/3 + 8/45
当 a = 0,b = -1/3 时,∫( -1,1 ) [p(x)]^2 dx 有最小值 8/45;
即所求多项式为 p(x) = x^2 - 1/3 。
p(x)=x²+ax+b,
p²(x)=x^4+2ax³+(a²+2b)x²+2abx+b²。
f(a,b)=∫【-1,1】p²(x)dx
=2∫【0,1】[x^4+(a²+2b)x²+b²]dx
=2[1/5+(a²+2b)/3+b²]
=2/5+2a²/3+4b/3+2b²
∂f/∂a=4a/3,∂f/∂b=4/3+4b。
若∂f/∂a=∂f/∂b=0,则a=0,b=-1/3。
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